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Simulation und Analysis für zeitliche Mehrskalenprobleme mit partiellen Differentialgleichungen
Finanzierung:
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) ;
In diesem Projekt untersuchen wir zeitliche Mehrskalenprobleme mit
partiellen Differentialgleichungen. Viele Anwendungen beschreiben
Langzeiteffekte, etwa die Materialalterung, Materialschädigung durch
Risse, biologische Musterbildungsprozess oder biologische
Wachstumsprozesse. Diese Phänomene sind oft durch wichtige
Kurzzeiteinflüsse bestimmt.

Eine detaillierte numerische Simulation solcher Vorgänge mit
etablierten Verfahren ist nicht möglich. Als Beispiel betrachten wir
das Wachstum von artherioskelrotischem Plaque, welches im Zeitraum von
mehreren Monaten abspielt, jedoch erheblich durch die mechanische
Belastung der pulsierenden Blutströmung bestimmt ist, welche eine
Auflösung von weniger als einer Sekunde bedarf. Eine direkte
Simulation über lange Zeiträume mit sehr feiner Auflösung ist jenseits
der Möglichkeiten.

Wir werden zeitliche Mehrskalenverfahren zur Approximation dieser
Probleme entwickeln, untersuchen und implementieren. Diese Methoden
basieren auf einer Mittelung der schnellen Prozesse, um so eine
effektive Gleichung zur Beschreibung des Langzeitverhaltens zu
gewinnen.

Ein Teil des Projekts widmet sich der mathematischen Analyse von
zeitlichen Mehrskalenproblemen mit partiellen
Differentialgleichungen. Üblicherweise kann ein Skalenparameter
eingeführt werden, der das Verhältnis zwischen langsamer und schneller
Skala beschreibt. Wir werden die Konvergenz der Mehrskalenlösung gegen
die gemittelte Lösung in Hinblick auf diesen Skalenparameter
untersuchen.

Im zweiten Teil werden effiziente numerische Verfahren zur schnellen
Approximieren von zeitlichen Mehrskalenproblemen entwickelt und
implementiert. Diese Verfahren basieren auf einer effizienten
Approximation der gemittelten Langzeitprobleme. Zur örtlichen
Diskretisierung verwenden wir die Finite Elemente Methode, zeitliche
Diskretisierung erfolgt auf Basis von Galerkin-Verfahren. Zum Erlangen
effizienter Algorithmen werden wir konsequent auf adaptive Verfahren
in Ort und Zeit setzen.

Die mathematische Analyse von zeitlicher Mehrskaligkeit im
Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen ist ein
herausforderndes Problem, welches bisher kaum systematisch untersucht
wurde.

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