Allmähliche Funktionsänderungen

Mit dem Vormarsch von Computern und Datenspeichern werden immer mehr Daten kontinuierlich während eines Zeitraums oder intermittierend zu einer Fülle von diskreten Zeitpunkten aufgezeichnet. Dies sind beides Beispiele für funktionale Daten, die darüber hinaus auch Zufallsfelder oder -verteilungen umfassen. Unsere Aufmerksamkeit gilt stochastischen Funktionen, die überwiegend durch Zufallskurven oder -flächen dargestellt werden, wobei jede Funktion als eine einzelne Beobachtung betrachtet wird. Diese Beobachtungen sind natürlich zeitlich geordnet und ändern sich möglicherweise mit der Zeit. Das Interesse gilt nicht einer einzelnen Veränderung bei jeder Kurve, sondern einer Veränderung des Musters über die gesamte Kurvenfolge hinweg. Fast alle bestehenden Methoden zur Erkennung von Veränderungen sind darauf ausgelegt, abrupte Brüche zu entdecken. Glatten strukturellen Veränderungen, die in der Praxis realistischer sein könnten, wurde bisher wenig Aufmerksamkeit geschenkt. Mit dem Vorteil der funktionalen Analyse und der empirischen Prozesse können wir fortgeschrittene statistische Werkzeuge wie Bootstrap oder Lasso einsetzen, um die allmähliche Veränderung der funktionalen Form in den Zeitreihen der Zufallskurven zu diagnostizieren.

Gradual Functional Changes

With the advance of computer facilities and data storage warehouses, more and more data are being recorded continuously during a time period or intermittently at plethora of discrete time points. These are both examples of functional data, which furthermore embrace random fields or manifolds. Our attention is devoted to stochastic functions predominantly represented by random curves or surfaces, where every function is considered as a single observation. These observations are naturally ordered with respect to time and possibly changing over time. The interest is not in an individual change withineach curve, but in a change of the pattern across the sequence of curves. Almost all existing change detection methods are designed to discover abrupt breaks. Little attention has been paid to smooth structural changes, which may be more realistic in practice. With the vantage of functional analysis and empirical processes, we can deploy advanced statistical tools like bootstrap or lasso to diagnose the gradual change of functional form in the time series of random curves.