Erweiterung der Sätze der linearen Elastizität für die Gradientenelastizität

Die klassische Elastizitätstheorie ist fester Bestandteil des beruflichen Alltags von Berechnungsingenieuren und deren Ausbildung. Sie wurde zwischen dem Beginn des 19. Jh. und der Mitte des 20. Jh. auf ein festes theoretisches Fundament gestellt. Ihre Entwicklung kann als abgeschlossen angesehen werden. Allerdings ist ihr Anwendungsbereich begrenzt: Sie ist größeninsensitiv, beinhaltet bei Diskontinuitäten in den Randbedingungen Singularitäten in den Spannungen und den Verschiebungen, und kann keine Grenz- und Oberflächenenergien berücksichtigen. Damit ist sie auf typische Ingenieursanwendungen beschränkt. Zur Beschreibung von Mikro-Bauteilen oder von Phänomenen im µm- und nm - Bereich ist sie nur bedingt geeignet.

Eine natürliche Erweiterung der klassischen Elastizität ist die Gradientenelastizität, bei der höhere Ableitungen des Verschiebungsfeldes auftauchen. Es wurde in zahlreichen Arbeiten gezeigt, dass die Beschränkungen der klassischen Elastizitätstheorie mit der Gradientenerweiterung überwunden werden können, ohne dass die übliche Trennung zwischen Struktur- und Materialeigenschaften verwischt wird, wie es bei alternativen nichtlokalen Theorien der Fall ist. Leider ist es bisher nicht gelungen, für die Gradientenelastizität ein ähnlich solides Fundament zu entwickeln, wie es für die klassische Elastizitätstheorie existiert.

Dies ist keine rein akademisches Problem. Die zunehmende Miniaturisierung von Bauteilen sowie die gezielte Entwicklung mikro-strukturierter Materialien erfordert es, über die klassische Elastizitätstheorie hinauszugehen. Des weiteren sind wir durch die Hebung der Singularitäten der klassischen Elastizität dazu in der Lage, eine Reihe von Kriterien (z.B. Bruch- und Fließkriterien), welche üblicherweise in den Cauchy-Spannungen formuliert sind, auch in der Nähe von Randdiskontinuitäten anzuwenden. Hierdurch vergrößert sich die Anwendbarkeit der Elastizitätstheorie deutlich.

Im diesem Projekt sollen die theoretischen Grundlagen der klassischen Elastizitätstheorie für die Gradientenelastizität ausgebaut werden. Hierfür wurde eine verallgemeinernde Axiomatik herausgearbeitet, welche zu ca. 2/3 bereits auf die Gradiententheorie übertragen wurde. Wir bemühen uns um eine Vervollständigung der Übertragung, was den Kern der Arbeit des deutschen Projektpartners bildet. Der russische Projektpartner ist mit der Anwendung befasst. Beispielsweise finden Eindeutigkeitssätze für Randwertprobleme mit reinen Verschiebungs- oder reinen Spannungsrandbediungungen in der Homogenisierung Anwendung. Mit ihnen kann beispielsweise die Eshelby-Grundlösung eines elliptischen Einschlusses in einer unendlichen Matrix ausgebaut werden. Eine weitere Anwendung sind transveralisotrope faserverstärkte Komposite, für welche sowohl ein Skalenübergang als auch die spezifischen Eigenschaften der Steifigkeitstensoren untersucht werden sollen. Schließlich soll das de Saint-Venantsche Prinzip für die Gradientenelastizität in Balkenversuche untersucht werden.

Theorems of Linear Elasticity extended to Gradient Elasticity and their Applications

The classical theory of elasticity is an integral part of the daily routine of engineers. It was placed on a firm theoretical foundation between the beginning of the 19th century and the mid-20th century. Its development can be considered complete. Unfortunately, its scope is limited: It is size insensitive, it contains singularities in the stresses and displacements when discontinuities appear in the boundary data, and can not include boundary and surface energies. Thus, it is limited to typical engineering applications. For the description of micro-components or phenomena in the micron- and nanometer range it is only partially suitable.

A natural extension of classical elasticity is the strain gradient elasticity, in which higher derivatives of the displacement field appear. It has been shown in numerous papers that the limitations of classical elasticity theory can be overcome with gradient expansion without blurring the usual separation between structure- and material properties, as is the case with alternative nonlocal theories. Unfortunately, it has not yet been possible to develop a complete solid foundation for gradient elasticity as it exists for classical elasticity theory.

This is not a purely academic matter. The increasing miniaturization of components and the targeted development of micro-structured materials require us to go beyond the classical theory of elasticity. Furthermore, by removing the singularities of classical elasticity, we are able to apply a number of criteria (e.g. fracture and flow criteria), which are usually formulated in the Cauchy stresses, also in the vicinity of boundary discontinuities. This significantly increases the applicability of the elasticity theory.

In this project, the well-established theoretical foundations of classical elasticity are to be expanded to strain gradient elasticity. For this purpose, a generalizing axiomatic theory has been worked out, about 2/3 of which have already been transferred to the gradient theory. We try to complete this transfer, which is the core of the work of the German project partner. The Russian project partner is concerned with specific applications. For example, uniqueness theorems for boundary value problems with pure displacement or pure stress boundary conditions are applied in homogenization. With them, for example, the Eshelby fundamental solution of an elliptical inclusion in an infinite matrix can be extended. Another application are transversely isotropic fiber-reinforced composites, for which both a scale transition and the specific properties of the stiffness tensor are to be investigated. Finally, the de Saint-Venant principle for gradient elasticity will be investigated in beam experiments.