Mathematische Komplexitätsreduktion (GRK 2297)

Das Projekt wird von den genannten Principal Investigators getragen. Diese sind den Instituten für Mathematische Optimierung (Kaibel, Sager), für Algebra und Geometrie (Kahle), für Mathematische Stochastik (Kirch, Janßen) und für Analysis und Numerik (Benner, Richter, Heiland) der Fakultät zugeordnet. Benner ist zudem Direktor des Max-Planck Institutes für Dynamik komplexer technischer Systeme. Die Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik ist über Findeisen beteiligt.

Im Kontext des vorgeschlagenen Graduiertenkollegs (GK) verstehen wir Komplexität als eine intrinsische Eigenschaft, die einen mathematischen Zugang zu einem Problem auf drei Ebenen erschwert. Diese Ebenen sind eine angemessene mathematische Darstellung eines realen Problems, die Erkenntnis fundamentaler Eigenschaften und Strukturen mathematischer Objekte und das algorithmische Lösen einer mathematischen Problemstellung. Wir bezeichnen alle Ansätze, die systematisch auf einer dieser drei Ebenen zu einer zumindest partiellen Verbesserung führen, als mathematische Komplexitätsreduktion.

Für viele mathematische Fragestellungen sind Approximation und Dimensionsreduktion die wichtigsten Werkzeuge auf dem Weg zu einer vereinfachten Darstellung und Rechenzeitgewinnen. Wir sehen die Komplexitätsreduktionin einem allgemeineren Sinne und werden zusätzlich auch Liftings in höherdimensionale Räume und den Einfluss der Kosten von Datenerhebungen systematisch untersuchen. Unsere Forschungsziele sind die Entwicklung von mathematischer Theorie und Algorithmen sowie die Identifikation relevanter Problemklassen und möglicher Strukturausnutzung im Fokus der oben beschriebenen Komplexitätsreduktion.

Unsere Vision ist ein umfassendes Lehr- und Forschungsprogramm, das auf geometrischen, algebraischen, stochastischen und analytischen Ansätzen beruht und durch effiziente numerische Implementierungen komplementiert wird. Die Doktorandinnen und Doktoranden werden an einem maßgeschneiderten Ausbildungsprogramm teilnehmen. Dieses enthält unter anderem Kompaktkurse, ein wöchentliches Seminar und ermutigt zu einer frühzeitigen Integration in die wissenschaftliche Community. Wir erwarten, dass das GK als ein Katalysator zur Etablierung dieser erfolgreichen DFG-Ausbildungskonzepte an der Fakultät für Mathematik dienen und zudem helfen wird, die Gleichstellungssituation zu verbessern.

Die Komplexitätsreduktion ist ein elementarer Aspekt der wissenschaftlichen Hintergründe der beteiligten Wissenschaftler. Die Kombination von Expertisen unterschiedlicher mathematischer Bereiche gibt dem GK ein Alleinstellungsmerkmal mit großen Chancen für wissenschaftliche Durchbrüche. Das GK wird Anknüpfungspunkte an zwei Fakultäten der OVGU, an ein Max Planck Institut und mehrere nationale und internationale Forschungsaktivitäten in verschiedenen wissenschaftlichen Communities haben. Die Studierenden im GK werden in einer Fülle von mathematischen Methoden und Konzepten ausgebildet und erlangen dadurch die Fähigkeit, herausfordernde Aufgaben zu lösen. Wir erwarten Erfolge in der Forschung und in der Ausbildung der nächsten Generation führender Wissenschaftler in Akademia und Industrie.

Mathematical Complexity Reduction

In the context of the proposed RTG we understand complexity as an intrinsic property that makes
it difficult to determine an appropriate mathematical representation of a real world problem, to assess the fundamental structures and properties of mathematical objects, and to algorithmically solve a given mathematical problem. By complexity reduction we refer to all approaches that help to overcome these difficulties in a systematic way and to achieve the aforementioned goals more efficiently.

For many mathematical tasks, approximation and dimension reduction are the most important tools to obtain
a simpler representation and computational speedups. We see complexity reduction in a more general way and
will also, e.g., investigate liftings to higher-dimensional spaces and consider the costs of data observation.
Our research goals are the development of cross-disciplinary mathematical theory and methods for complexity
reduction and the identification of relevant problem classes and effective exploitation of their structures.

We aim at a comprehensive teaching and research program based on geometric, algebraic, stochastic, and
analytic approaches, complemented by efficient numerical and computational implementations. In order to
ensure the success of our doctoral students, they will participate in a tailored structured study program. It will
contain training units in form of compact courses and weekly seminars, and encourage early integration into the
scientific community and networking. We expect that the RTG will also serve as a catalyst for a dissemination
of these successful practices within the Faculty of Mathematics and improve the gender situation.

Complexity reduction is a fundamental aspect of the scientific backgrounds of the principal investigators.
The combination of expertise from different areas of mathematics gives the RTG a unique profile, with high
chances for scientific breakthroughs. The RTG will be linked to two faculties, a Max Planck Institute, and
several national and international research activities in different scientific communities.

The students of the RTG will be trained to become proficient in a breadth of mathematical methods, and
thus be ready to cope with challenging tasks in particular in cross-disciplinary research teams. We expect an
impact both in terms of research successes, and in the education of the next generation of leading scientists in
academia and industry.