Verbesserung der numerischen Effizienz von Rotordynamiksimulationen durch Anwendung der Scaled Boundary Finite Element Method zur Berechnung der hydrodynamischen Lagerung

Die rotordynamischen Eigenschaften gleitgelagerter Systeme werden entscheidend durch die nichtlinearen Lagerkräfte beeinflusst. Bei schnelldrehenden, leicht belasteten Rotoren kommt es dadurch zu subsynchronen selbsterregten Schwingungen mit häufig großen Amplituden, welche die Lebensdauer der Komponenten reduzieren, kritische Schallemissionen verursachen und den Wirkungsgrad der Maschine beeinträchtigen können. Zur Prädiktion des komplexen Verhaltens, ist eine präzise Simulation erforderlich, welche die nichtlinearen Wechselwirkungen zwischen den Lagerkräften und Wellenschwingungen abbildet. Dazu wird die Bewegungsgleichung der elastischen Welle innerhalb eines Zeitschrittverfahrens mit der Reynoldsgleichung, welche den hydrodynamischen Druckaufbau im Gleitlager beschreibt, gekoppelt. Die Reynoldsgleichung muss daher in jedem Zeitschritt gelöst werden, was mittels numerischer Methoden, analytischer Approximationen oder auf Basis vorab berechneter Kennfelder geschieht. Numerische Berechnungsmodelle bieten eine hohe Genauigkeit, bringen jedoch einen erheblichen und oftmals inakzeptablen Rechenaufwand mit sich. Die deutlich schnelleren, analytischen Lösungen sind wiederum nur im Zusammenhang mit erheblichen Vereinfachungen möglich, welche zu ungenauen Simulationsergebnissen führen. Der Kennfeldansatz stellt gewissermaßen einen Kompromiss dar, wobei die Modellierungstiefe beschränkt bleibt.
Ein vielversprechender Ansatz zur Entwicklung einer numerisch effizienten Lösung ohne die erheblichen Einschränkungen analytischer oder auf Kennfeldern basierender Methoden ist die semi-analytische Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM). Die Grundlagen zur Lösung der Reynoldsgleichung mit der SBFEM wurden im Rahmen verschiedener Vorarbeiten hergeleitet und sollen nun weiterentwickelt werden, um den numerischen Aufwand weiter zu reduzieren und die Modellierungstiefe zu verbessern. Zur Reduzierung des numerischen Aufwands sollen höherwertige Ansatzfunktionen mit einem Algorithmus zur automatischen, adaptiven Netzverfeinerung und -vergröberung kombiniert und unterschiedliche Transformationen der Reynoldsgleichung untersucht werden, um die Lösung zu glätten. Eine weitere Strategie besteht darin, dem Zeitschrittverfahren eine Vorlaufrechnung voranzustellen, in der die in der SBFEM zu lösenden Eigenwertprobleme in einer Reihe entwickelt werden, was eine numerisch effiziente Approximation innerhalb der Zeitintegration ermöglicht. Um außerdem die Modellierungstiefe bzw. die Genauigkeit der SBFEM-Lösung zu verbessern, sind Strategien zur Einbeziehung masseerhaltender Kavitationsmodelle und zur Berücksichtigung der Wellenschiefstellung zu untersuchen. Im letzten Schritt soll die entwickelte Methodik verifizieren und hinsichtlich ihrer Effizienz analysiert werden. Zur Sicherstellung eines realistischen Kontexts erfolgt dies im Rahmen einer Rotordynamik- bzw. MKS-Formulierung, wodurch auch komplexe technische Gesamtsysteme simuliert werden können.

Improvement of the numerical efficiency of rotordynamic simulations by applying the Scaled Boundary Finite Element Method to compute the hydrodynamic bearings

The rotordynamic properties of systems with hydrodynamic bearings are affected crucially by the nonlinear bearing forces. Regarding fast-rotating, lightly-loaded rotors, this causes subsynchronous self-excited oscillations with potentially high amplitudes, which can reduce the durability of the components, cause critical noise emissions, and affect the energy efficiency of the machine. To reduce expensive test bench experiments and time-consuming iterations in the product development process, the design has to be based on precise simulative analyses of the operating behavior under consideration of the nonlinear interactions between the bearing forces and the shaft vibrations. To this end, the equation of motion of the elastic shaft is incorporated into a time integration scheme and coupled with the Reynolds equation, which describes the pressure generation in hydrodynamic bearings. Hence, each time step of the simulation includes a solution of the Reynolds equation, for which numerical methods, analytical approximations, and look-up tables are employed. While numerical methods lead to considerable and often inacceptable computational times, analytical solutions are only possible in conjunction with substantial simplifications. The look-up table approach, to some extent, offers a tradeoff between these two extremes, while the modeling depth is usually limited, since the interpolation effort increases with every considered physical effect.

A promising basis for the development of a novel, numerically efficient solution without the substantial limitations of analytical methods or look-up table techniques is the semi-analytical Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM). The fundamentals for solving the Reynolds equation with the SBFEM have been derived in preliminary work, but the potential of the approach has not been exploited yet, which is the objective of this project. In order to further reduce the numerical effort, high-order shape functions need to be employed in combination with an automatic, adaptive mesh refinement as well as coarsening and a transformation of the Reynolds equation in a manner that smoothens the solution is analyzed. Another strategy worth investigating is to avoid the repeated solution of eigenvalue problems within the time integration scheme. This requires that the eigenvalue problem is differentiated with respect to the parameters of the shaft displacement and developed into a series prior to the rotordynamic simulation. In order to improve the modeling depth of the SBFEM solution compared to the preliminary work, strategies for incorporating mass-conserving cavitation models as well as shaft tilting need to be investigated. In the last step, the developed methodology is to be verified and analyzed with regard to its efficiency. To ensure a realistic context, this is done within the framework of a rotor dynamics or MBS formulation, whereby complex technical overall systems can also be simulated.