Geometrie optimaler Designs für nichtlineare Modelle in der Statistik

Geometrische Beschreibungen optimaler Designbereiche sind in Zeiten zunehmender Komplexität statistischer Modelle von wachsendem Interesse. Das Ziel dieses Projektes besteht in der Suche von Optimalitätsbereichen von experimentellen Designs für derartige statistische Modelle, insbesondere für verallgemeinerte lineare Modelle mit Poisson- oder logistisch verteilten Zielvariablen. Diese Bereiche können durch Systeme von polynomialen Ungleichungen im Parameterraum beschrieben werden, was bedeutet, dass sie nichts anderes als semialgebraische Mengen sind. Somit können Methoden der algebraischen Geometrie benutzt werden, um die Eigenschaften dieser Optimalitätsbereiche zu studieren. Als Beispiel können im Paarvergleichsmodell nach Bradley-Terry, das ein statistisches Modell für den Vergleich verschiedener Alternativen auf der Basis logistischen Antwortverhaltens ist, die Optimalitätsbereiche für sogenannte saturierte Designs, d.h. Designs mit einer minimalen Anzahl von Trägerpunkten, bestimmt werden.

Geometry of optimal designs for nonlinear models in statistics

Geometric descriptions of optimal design regions are of growing interest in times of an increasing complexity of statistical models. The aim of the project is in searching for optimality regions of experimental designs for such statistical models, especially for generalized linear models with Poisson or logistic response. These regions are described by systems of polynomial inequalities in the parameter space, which means that they are nothing else than semialgebraic sets. Hence algebraic geometry can be used to study the properties of these optimality regions. For example, in the Bradley-Terry paired comparison model, which is a statistical model for comparisons of alternatives depending on a logistic response, we are interested in the optimality regions of so called saturated designs, i.e. designs with a minimal number of support points.