Analytical and Numerical Investigation of the Ultra-Relativistic Euler Equations

In dieser Arbeit studierten wir die ultrarelativistischen Euler-Gleichungen für ein ideales Gas, ein System nichtlinearer hyperbolischer Erhaltungsgleichungen. Diese sind Gleichungen für den Druck, den räumlichen Anteil, der Vierergeschwindigkeit und der Teilchenzahldichte. Nach dem Studium einzelner Stoßwellen und Verdünnungsfächer lösten wir das Riemannsche Anfangswertproblem explizit. Wir zeigten die Eindeutigkeit der Lösungen.
Wir entwickelten für die Beschreibung von Stoßwellen-Interaktionen eine eigene Parametrisierung, die für verschiedene Familien von Stößen auf eine explizite Druckformel nach der Stoßinteraktion führt.
Wir verwendeten diese Formel, um ein interessantes Beispiel für "non backward uniqueness" der ultrarelativistischen Eulergleichungen anzugeben. Ein vorgestelltes numerisches Kegelschema basiert auf Riemann-Lösungen für dieses System, es ist stabil, erfüllt die CFL-Bedingung und erhält Positivität von Druck und Teilchenzahldichte.
Wir führten eine neue Funktion ein, die die Stärke der elementaren Wellen beschreibt, und leiteten hierzu scharfe Ungleichungen ab. Die Interpretation der Stärke Riemannscher Anfangsdaten ist ebenfalls gegeben. Diese Funktion hat die wichtige Eigenschaft, dass die Stärke auch für beliebige Wellen-Interaktionen unseres Systems monoton fallend mit der Zeit ist. Dieses Studium der Welleninteraktion gestattet auch die Bestimmung des Types der transmittierten Wellen. Es kann dazu verwendet werden, eine natürliche Totalvariation der Lösungen zu jeder Zeit zu definieren.
Wir haben für andere hyperbolische Systeme ein vergleichbares Resultat noch nicht gesehen. In den meisten Arbeiten über hyperbolische Erhaltungsgleichungen ist stattdessen ein eher klassischer Zugang üblich, der Änderungen der Riemann-Invarianten als ein Maß für die Stärke der Wellen verwendet. Weiterhin präsentierten wir eine neue Front-Tracking Methode für die ultrarelativistischen Eulergleichungen in einer Raumdimension. Der wichtigste Baustein hierfür ist ein eigener Riemann-Löser. Der Front-Tracking Riemann-Löser approximiert einen kontinuierlichen Verdünnungsfächer durch eine endliche Anzahl von Verdünngsstößen (non entropy shocks). Während andere
Front-Tracking Methoden auch nicht physikalische Lösungen gestatten, die die Rankine-Hugoniot Gleichungen verletzten, ist dies bei unserem Front-Tracking Riemann-Löser nicht der Fall. Wir erhalten somit exakte schwache Lösungen, deren Entropieverletzung kontrollierbar bleibt.

Wir vergleichen die exakte Riemann-Lösung mit den Lösungen des Kegelschemas und unserer Front-Tracking Methode für die ultrarelativistischen Eulergleichungen in einer Raumdimension. Die CFL-Bedingung ist hierbei sehr einfach, und unabhängig von den Anfangsdaten gegeben durch Delta t =  Delta x/2.
Sie kommt aus der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit unter Lorentz-Transformationen. Die numerischen Beispiele zeigen sehr gute Übereinstimmung und eine scharfe Auflösung. Schliesslich studierten wir die  Welleninteraktionen auch mit verallgemeinerten Stößen, die die Rankine-Hugoniot Gleichungen erfüllen, aber nicht unbedingt die Entropieungleichung.