Multiple solutions in nonlinear elliptic boundary value problems

Untersuchungen zur Vielfachheit von Lösungen bei nichtlinearen elliptischen Randwertproblemen in Abhängigkeit eines reellen Parameters haben in den letzten Jahren an Bedeutung gewonnen. Diese Entwicklung hat zunächst mit dem Studium semilinearer elliptischer Randwertprobleme mit dem Laplaceoperator als führenden Differentialoperator begonnen.  Dabei hat sich gezeigt, dass die Vielfachheit der Lösungen wesentlich von den Eigenwerten des zugeordneten linearen Eigenwertproblems und den Struktur- und Wachstumsbedingungen der Nichtlinearität des  Problems abhängt.

Ziel des Projektes ist das Studium der Vielfachheit von Lösungen bei quasilinearen elliptischen Randwertproblemen, deren führender Differentialoperator der p-Laplaceoperator ist, wobei die Vielfachheit im allgemeinen  in  Abhängigkeit des  Fucikspektrums des p-Laplaceoperators und der Eigenschften der Nichtlinearität des Problems untersucht werden. Dabei wird auch zugelassen, dass die Nichtlinearität mengenwertig sein kann. Die verwendeten Untersuchungsmethoden beruhen sowohl auf Vergleichsprinzipien für nichtlineare elliptische Differentialungleichungen als auch auf Variationsmethoden für im allgemeinen lokal lipschitzstetige  Funktionale wie z.B. (nichtglatte) kritische Punkttheorie und Second Deformation Lemma.

In recent years the study of multiple solutions for quasilinear elliptic problems involving the p-Laplacian has become a subject of growing interest. The main goal of this project is to provide new multiple solutions result for quasilinear elliptic variational problems which, in general depend on two parameters, and whose nonlinearity may  be even multi-valued and given in the form of Clarke"s generalized gradient. The dependence of the problem under consideration on two parameters, which are studied in relation to the Fucik spectrum of the p-Laplacian, allows for a more detailed analysis of the multiplicity of solutions. The multi-valued problem considered requires advanced tools from Nonsmooth Analysis. Our approach will be based on comparison principles for multi-valued elliptic problems and variational methods for nonsmooth  functionals  such as, e.g., nonsmooth critical point theory and second deformation lemma for nonsmooth and locally Lipschitz functionals.