Einschliessungsgebiete für elliptische und parabolische Systeme mit unstetigen Kopplungsvektorfeldern und Anwendungen

Gegenstand des Projektes sind gemischte Randwertprobleme (Rand-Anfangswertprobleme) für Systeme nichtlinearer elliptischer (parabolischer) Differentialgleichungen. Die Besonderheit dieser Systeme besteht darin, dass die Vektorfelder sowohl der Quellterme als auch der Randterme in den Flussbedingungen unstetig von der gesuchten Vektorfunktion abhängen können. Unstetige Kopplungsvektorfelder erschweren die Behandlung solcher Probleme erheblich, und schon einfachste Beispiele zeigen, dass für die Begründung einer Lösungstheorie sowohl die Struktur der Vektorfelder als auch eine geeignete Erweiterung des Lösungsbegriffs wesentlich sind. Wir betrachten deshalb anstelle der unstetigen Systeme die ihnen in bestimmter Weise zugeordneten mengenwertigen Systeme, die ihrerseits einem unstetig gekoppelten System von Variationsungleichungen äquivalent sind. Ziel ist es, Bedingungen anzugeben, die gleichzeitig die Existenz als auch Schranken für Lösungen (sogenannte "trapping regions") garantieren. In den Anwendungen untersuchen wir eine Reihe konkreter Modelle z.B. aus der Halbleitertheorie, der Ökologie oder der Transporttheorie. Insbesondere behandeln wir das Drift-Diffusionsmodell, das im stationären Fall seiner mathematischen Struktur nach ein stark gekoppeltes elliptisches System darstellt (Kopplung auch in den Diffusionstermen). Für letzteres soll darüberhinaus eine "Smoothing Analysis" durchgeführt werden, die als Vorstufe einer Approximation durch "glatte" Probleme dient.