Nahezu perfekt nichtlinear (APN)

In der Kryptographie verwendet man häufig Funktionen (definiert auf endlichen Feldern), die hochgradig nichtlinear sind. Um solche hochgradig nichtlinearen Funktionen zu konstruieren, nutzt man in vielen Situationen algebraische Eigenschaften endlicher Felder. Sogenannte "fast perfekt nichtlineare" (APN) Funktionen sowie gebogene Funktionen sind sehr beliebt. Man kann die Nichtlinearität in diesen Fällen wie folgt definieren: Man betrachtet die zweidimensionalen affinen Unterräume in einem Vektorraum, der über einem Feld mit nur zwei Elementen definiert ist. Man versucht, die Punkte in diesem Vektorraum so umzuordnen, dass kein Unterraum erhalten bleibt. Dies ist nur dann möglich, wenn es eine bijektive APN-Funktion gibt. Man beachte, dass die zweidimensionalen Unterräume einen kombinatorischen Entwurf bilden, so dass man die gleiche Frage für kombinatorische Entwürfe im Allgemeinen stellen kann. Wir erwarten, dass diese neue Sichtweise ein neues Licht auf einige der wichtigsten offenen Probleme im Zusammenhang mit APN-Funktionen wirft, insbesondere auf das Problem der Existenz bijektiver APN-Funktionen. Ist es vielleicht einfacher, solche Ableitungen für kombinatorische Entwürfe zu erhalten, die sich vom Punkt-Unterraum-Entwurf unterscheiden? Wenn ja, was ist der Grund dafür, dass es schwierig ist, solche Ableitungen im klassischen Fall zu finden?
Dieser Text wurde mit DeepL übersetzt am 26.02.2026

Almost perfect nonlinear (APN)

In cryptography, one uses quite often functions (defined on finite fields) which are highly nonlinear. To construct such highly nonlinear functions, one uses in many situations algebraic properties of finite fields. So called "almost perfect nonlinear" (APN) functions as well as bent functions are quite popular. One can define nonlinearity in these cases as follows: consider the two-dimensional affine subspaces in a vector space defined over a field with just two elements. One tries to rearrange the points in this vector space such that no subspace is maintained. This is possible if and only if there is a bijective APN function. Note that the 2-dimensional subspaces form a combinatorial design, so that one may ask the same question for combinatorial designs in general. We expect that this new viewpoint sheds new light on some of the main open problems about APN functions, notably the problem about the existence of bijective APN functions. Is it perhaps easier to obtain such derangements for combinatorial designs different from the point-subspace design? If yes, what is the reason that it is difficult to find such derangements in the classical case?