Strategien zur dynamischen Adaption der Diskretisierung basierend auf höherwertigen Übergangselementen für die Analyse von Wellenausbreitungsvorgängen mittels Hochleistungsrechnern

Methoden der adaptiven Netzverfeinerung (AMR) sind in vielen industriellen und auch wissenschaftlichen Anwendungen unbedingt erforderlich, um den numerischen Aufwand zu reduzieren und dadurch komplexe Problemstellungen überhaupt erst handhabbar zu machen. Betrachtet man jedoch die gegenwärtige Literatur zum Thema AMR, kristallisieren sich einige Unzulänglichkeiten heraus, die noch gelöst werden müssen. Um eine lokale Netzverfeinerung zu erreichen, müssen entweder hybride Netze bestehend aus Simplex- und Tensor-Produkt-Elementen oder Zwangsbedingungen genutzt werden. Beide Ansätze führen jedoch unweigerlich zu lokalen Genauigkeitsverlusten. Darüber hinaus werden in industriellen Anwendungen oft lineare Ansatzfunktionen verwendet, weshalb nur eine algebraische Konvergenz erzielt werden kann. Im wissenschaftlichen Umfeld gibt es selbstverständlich auch Ansätze für eine vollständige hp-Adaptivität. Diese Verfahren sind aber aufgrund ihrer Komplexität in der Implementierung auf Netze mit einem hängenden Knoten pro Elementkante/-fläche ausgelegt und weisen Schwächen in der Anwendung auf hoch dynamische Prozesse (explizite Zeitintegration) auf, da diagonale Massenmatrizen nicht verfügbar sind. Anzumerken ist, dass im Vergleich zu einfachen h-Verfeinerungen aber exponentielle Konvergenzraten erreicht werden können. Die genannten Probleme können durch höherwertige Übergangselemente, die auf der Basis der sogenannten gemischten (transfiniten) Interpolation hergeleitet werden, leicht beseitigt werden. Die Elementformulierung beruht auf Vierecks- bzw. Hexaederelementen im Referenzgebiet und kann beliebige Diskretisierungen miteinander koppeln. Im Prinzip können verschiedenste Elementfamilien gekoppelt werden, die sich nicht nur in Größe oder Ansatzordnung unterscheiden. Da der Funktionsraum nicht durch Zwangsbedingungen eingeschränkt werden muss, müssen auch keine Kompromisse hinsichtlich der Genauigkeit eingegangen werden. Für hochfrequente, transiente Berechnungen werden in diesem Projekt außerdem noch geeignete Methoden zur Diagonalisierung der Massenmatrix erarbeitet. Die entstandene Elementfamilie bildet die Basis für dynamische Netzverfeinerungen. Das besondere Merkmal dieses Ansatzes ist die gezielte Kombination von Verfeinerungs- und Vergröberungsschritten, die in jedem Zeitschritt der Simulation ausgeführt werden. Damit können optimale Konvergenzraten unter möglichst geringem numerischen Aufwand erzielt werden. Um die Effizienz der entwickelten Technik weiter zu steigern, werden die Algorithmen für Hochleistungsrechner aufbereitet. Die herausragenden Eigenschaften der vorgeschlagenen Methodik werden an ausgewählten Beispielen der Wellenausbreitung verdeutlicht. Dazu werden die kontinuierliche Strukturüberwachung mittels geführter Wellen in mikrostrukturierten Materialien und die Analyse seismischer Aktivitäten genutzt.

Dynamic Mesh Refinement Exploiting High-Order Transfinite Elements for the Analysis of Wave Propagation Phenomena on High-Performance Clusters

Adaptive mesh refinement (AMR) strategies are of interest in many branches in science and engineering. Due to the possibility to generate locally refined discretizations, large-scale problems of practical relevance become tractable. However, a review of the state of the art in AMR reveals several issues that are not sufficiently resolved yet. First, often only low-order finite elements in combination with h-extensions are applied in commercial codes resulting in a sub-optimal convergence of algebraic type. Additionally, to ensure a conformal coupling, either unstructured discretizations consisting of both simplex and tensor-product elements have to be utilized or the ansatz space of the elements has to be constrained reducing the overall accuracy of the approach. Second, high-order hp-type refinement strategies, mainly implemented in a research environment, suffer from restrictions to 1-irregular meshes to decrease the implementational complexity or are based on hierarchic shape functions that do not permit the construction of diagonal mass matrices which is essential for (explicit) transient analyses. However, these methods are at least capable of delivering exponential rates of convergence. Therefore, a novel methodology to construct dynamically refined meshes based on (nodal) high-order quadrilateral and hexahedral finite element types is proposed. Fortunately, the aforementioned drawbacks can easily be overcome by employing the so-called transfinite interpolation technique (Gordon-Coons interpolation) enabling the construction of arbitrary transition elements. In principle, it is possible to couple elements of different types, sizes, and polynomial orders without any compromise on the attainable accuracy. This unique versatility opens up a wide variety of possible applications for this element type. Additionally, highly accurate mass lumping schemes are developed to facilitate the application to transient analyses. The proposed novel family of elements constitutes the cornerstone for implementing a dynamic refinement strategy, where both refinement and coarsening steps are executed in each time step of a dynamic analysis. Hence, optimal rates of convergence can be achieved with minimal numerical effort. To increase the efficiency of the proposed framework even further, all algorithms are implemented in a high-performance computing framework. The exceptional properties of the novel methodology are showcased using different numerical examples from the area of wave propagation analysis, where dynamic mesh refinement techniques are indispensable for a numerically efficient simulation. To this end, guided waves in the context of structural health monitoring in micro-structured materials and seismic wave propagation over large regions are discussed.