Graduelle Strukturänderungen in funktionalen Daten

Durch Fortschritte in der Datenverarbeitung sind zunehmend
zeitkontinuierliche Datensätze verfügbar bzw. Daten zu diskreten
Zeitpunkten in dichter Folge. Dies sind beides Beispiele für
sogenannte funktionale Daten, die auch Zufallsfelder oder
Zufallsprozesse auf Mannigfaltigkeiten umfassen. Wir wollen unsere
Aufmerksamkeit stochastischen Funktionen widmen, die sich in den
meisten Fällen als zufällige Kurven oder Oberflächen darstellen
lassen, und betrachten dabei jede Funktion als eine Beobachtung in
einem Funktionenraum. Diese Beobachtungen sind natürlich geordnet
bezüglich der Zeit und können sich im Zeitablauf ändern. Das
Interesse liegt dabei nicht auf einer Veränderung innerhalb der
einzelnen Kurven, sondern eine Veränderung in der Struktur der
Kurven im Zeitablauf. Fast alle bisherigen Methoden zur
Strukturbrucherkennung wurden entwickelt, um abrupte Änderungen
zu erkennen. Allmähliche Änderungen der Struktur haben bis jetzt
wenig Beachtung gefunden, obwohl diese realistischer für die Praxis
sein könnten. Mithilfe funktionaler Grenzwertsätze und empirische
Prozesse möchten wir fortgeschrittene statistische Methoden wie
Bootstrap oder LASSO anwenden, um graduelle Änderungen der
funktionalen Form in der Zeitreihe von Kurven diagnostizieren.

Gradual Functional Changes

With the advance of computer facilities and data storage warehouses,
more and more data are being recorded continuously during a time
period or intermittently at plethora of discrete time points. These are
both examples of functional data, which furthermore embrace random
fields or manifolds. Our attention is devoted to stochastic functions
predominantly represented by random curves or surfaces, where
every function is considered as a single observation. These
observations are naturally ordered with respect to time and possibly
changing over time. The interest is not in an individual change within each curve, but in a change of the pattern across the sequence of
curves. Almost all existing change detection methods are designed to
discover abrupt breaks. Little attention has been paid to smooth
structural changes, which may be more realistic in practice. With the
vantage of functional analysis and empirical processes, we can
deploy advanced statistical tools like bootstrap or lasso to diagnose
the gradual change of functional form in the time series of random
curves.