Vollständig funktional gewichtete Tests für abrupte und allmähliche Ortsveränderungen in funktionalen Zeitreihen

Änderungspunkttests für abrupte Änderungen des Mittelwerts funktionaler Daten, d. h. zufälliger Elemente in unendlich-dimensionalen Hilbert-Räumen, basieren entweder auf Dimensionsreduktionstechniken, z. B. auf der Grundlage von Hauptkomponenten, oder direkt auf einer funktionalen CUSUM-Statistik (kumulative Summe). Erstere wurden oft kritisiert, da sie nicht vollständig funktional sind und zu viele Informationen verlieren. Andererseits berücksichtigen sie im Gegensatz zu letzteren die Kovarianzstruktur der Daten, indem sie die nach der Dimensionsreduktion erhaltene CUSUM-Statistik mit der inversen Kovarianzmatrix gewichten. Als Mittelweg zwischen diesen beiden Ansätzen schlagen wir eine alternative Statistik vor, die die Kovarianzstruktur mit einem Offset-Parameter einbezieht, um ein skaleninvariantes Testverfahren zu erzeugen und die Aussagekraft zu erhöhen, wenn die Veränderung nicht an den ersten Komponenten ausgerichtet ist. Wir verallgemeinern diese Tests auch auf die Situation allmählicher Änderungen des Mittelwerts. Wir leiten die asymptotische Verteilung unter der Nullhypothese ab und berücksichtigen dabei die Zeitabhängigkeit der Daten. Anhand empirischer Ergebnisse untersuchen wir das Verhalten der vorgeschlagenen Methoden, einschließlich der Erkennung abrupter und allmählicher Mittelwertänderungen, und stellen insbesondere fest, dass die neue Gewichtung tatsächlich zu einem guten Kompromiss zwischen den vorherigen Methoden führt.

Fully Functional Weighted Testing for Abrupt and Gradual Location Changes in Functional Time Series

Change point tests for abrupt changes in the mean of functional data, i.e., random elements in infinite-dimensional Hilbert spaces, are either based on dimension reduction techniques, e.g., based on principal components, or directly based on a functional CUSUM (cumulative sum) statistic. The former have often been criticized as not being fully functional and losing too much information. On the other hand, unlike the latter, they take the covariance structure of the data into account by weighting the CUSUM statistics obtained after dimension reduction with the inverse covariance matrix. As a middle ground between these two approaches, we propose an alternative statistic that includes the covariance structure with an offset parameter to produce a scale-invariant test procedure and to increase power when the change is not aligned with the first components. We also generalize these tests to the situation of gradual changes in the mean. We derive the asymptotic distribution under the null hypothesis, allowing for time dependence of the data. We use empirical results to investigate the behavior of the proposed methods, including the detection of abrupt and gradual mean changes, establishing, in particular, that the new weighting indeed leads to a good compromise between the previous methods.