Physikalische Postulate zur Begründung der Schwarzschildmetrik

In Vorlesungen zur Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Schwarzschildmetrik üblicherweise aus den einsteinschen Feldgleichungen abgeleitet. Zum einen ist das trotz Ausnützung von Symmetrien aufwändig, zum anderen erfordert es das Verständnis des mathematisch schwierigeren Teils der Theorie, insbesondere Tensoranalysis in pseudoriemannschen Geometrien. Nun ist grundsätzlich die Schwarzschildmetrik sehr hilfreich bei der physikalischen Motivation von Studenten, sich überhaupt mit dem mathematischen Ungetüm des Tensorformalismus auseinanderzusetzen. Denn ihre Kenntnis erlaubt die Diskussion der vier grundlegenden Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie (Gravitationsrotverschiebung, Lichtablenkung im Schwerefeld, Periheldrehung, Shapiro-Effekt) ebenso wie die diverser Aspekte starker Gravitationsfelder wie das Auftreten schwarzer Löcher mit ihrem Ereignishorizont. Erst die Faszination, die von diesen Ergebnissen ausgeht, mag einen hinreichenden Anreiz für Studierende darstellen, sich tiefer in die Theorie einzuarbeiten. Umgekehrt wirkt der Anspruch, erst die schwierige Mathematik zu lernen, ohne zu sehen, was man dann später für großartige Dinge damit anstellen kann, eher demotivierend. Es ist also didaktisch vorzuziehen, die Schwarzschildmetrik vor den Feldgleichungen zu besprechen. Wenn sie aber nicht "vom Himmel fallen" soll, wird eine Herleitung benötigt, die die in den Feldgleichungen vorhandene Information für diesen Spezialfall einfacher bereitstellt. Der im Projekt untersuchte Ansatz besteht darin, einfache plausible Postulate zu finden, die den statischen kugelsymmetrischen Fall der Feldgleichungen ohne deren mathematischen Overhead reproduzieren. Zwei Systeme solcher Postulate wurden entwickelt, wobei sich als besonders elegant die Reduktion auf eine einzige physikalische Forderung zum Verhalten von frei fallenden sphärischen Wolken aus Staubteilchen herausstellt. Diese gilt auch schon in der newtonschen Physik und reduziert dort die Ableitung des universellen Gravitationsgesetzes auf einen Dreizeiler. Verallgemeinerung dieses Postulats unter Berücksichtigung relativistischer Zeit- und Längenänderungen liefert die Schwarzschildmetrik und ist, wie Baez und Bunn gezeigt haben, äquivalent zu den Vakuumfeldgleichungen. (Letzteres kann im Kurs nach Einführung der Feldgleichungen bewiesen werden, während die Verwendung des Postulats lange vorher möglich ist.)

Physical postulates useful in deriving the Schwarzschild metric

The standard way to derive the Schwarzschild metric in lectures on general relativity is to start from Einstein's field equations and symmetry considerations. Despite the latter, this is involved and requires, moreover, understanding of the mathematically more difficult parts of the theory, such as tensor analysis in pseudo-Riemannian geometries. In principle, the Schwarzschild metric is very helpful in creating sufficient physical motivation with the students to then attack the mathematical monster tensor formalism willingly. For knowledge of the Schwarzschild metric enables the class to discuss the four basic tests of general relativity (gravitational redshift, light deflection in gravitational fields, perihelion precession, Shapiro effect) as well as a number of interesting strong-field effects such as the emergence of black holes and event horizons. Arguably, it is the fascination created by these results that will provide sufficient incentive for students to delve more deeply into the theory including its mathematical difficulties. On the other hand, dealing with these before having an idea of the awesome coclusions that can be drawn from them, may be rather demotivating. Therefore, the Schwarzschild metric should be treated before the field equations, on didactical grounds. However, if that metric is not to appear from nowhere, a derivation is needed that obtains the information usually required from the field equations more directly for the spherically symmetric static case. In the project, the basic approach consists in finding simple and plausible postulates reproducing that case without the mathematical overhead of the field equations. Two systems of postulates were developed. The more elegant one uses a single postulate regarding the behavior of freely falling dust balls, valid in Newtonian mechanics already. There, it can be used to derive Newton's universal law of gravitation in three lines. Its generalization to the relativistic case according to standard rules produces the Schwarzschild metric and is equivalent to the vacuum field equations as was shown by Baez and Bunn. (In the classroom, this equivalence may be demonstrated after introduction of the field equations, while the postulate may be employed much earlier.)