Sequenzielle Änderungspunkttests auf der Grundlage von U-Statistiken

Wir schlagen einen allgemeinen Rahmen für sequentielle Testverfahren auf der Grundlage von U-Statistiken vor, der als Beispiel einen sequentiellen CUSUM-Test auf der Grundlage von Mittelwertunterschieden enthält, aber auch ein robustes sequentielles Wilcoxon-Änderungspunktverfahren umfasst. Innerhalb dieses Rahmens betrachten wir mehrere Überwachungsschemata, die verschiedene Beobachtungen berücksichtigen, um eine Entscheidung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu treffen. Im Gegensatz zu dem ursprünglich vorgeschlagenen Schema, das alle Beobachtungen des Überwachungszeitraums berücksichtigt, betrachten wir auch eine modifizierte Moving-Sum-Version sowie eine Version eines Page-Überwachungsschemas. Letztere verhalten sich bei frühen Änderungen fast genauso gut, während sie bei späteren Änderungen vorteilhaft sind. Für alle vorgeschlagenen Verfahren geben wir die Grenzverteilung unter der Nullhypothese an, aus der sich der Schwellenwert zur Kontrolle des asymptotischen Typ-I-Fehlers ergibt. Außerdem zeigen wir, dass die vorgeschlagenen Tests eine asymptotische Potenz von eins haben. In einer Simulationsstudie vergleichen wir die Leistung der sequentiellen Verfahren anhand ihrer empirischen Größe, Potenz und Nachweisverzögerung und geben ein Datenbeispiel.
Schlüsselwörter: Strukturbrüche, Wilcoxon-Statistik, CUSUM-Statistik, Datenüberwachung, Kontrollkarten

Sequential change point tests based on U-statistics

We propose a general framework of sequential testing procedures based on U-statistics which contains as an example a sequential CUSUM test based on differences in mean but also includes a robust sequential Wilcoxon change point procedure. Within this framework, we consider several monitoring schemes that take different observations into account to make a decision at a given time point. Unlike the originally proposed scheme that takes all observations of the monitoring period into account, we also consider a modified moving-sum-version as well as a version of a Page-monitoring scheme. The latter behave almost as good for early changes while being advantageous for later changes. For all proposed procedures we provide the limit distribution under the null hypothesis which yields the threshold to control the asymptotic type-I-error. Furthermore, we show that the proposed tests have asymptotic power one. In a simulation study we compare the performance of the sequential procedures via their empirical size, power and detection delay and give a data example.
Keywords: structural breaks, Wilcoxon statistics, CUSUM statistics, data monitoring, control charts