Robuste Verfahren in der sequentiellen Change-Point Analyse basierend auf U-Statistiken

Change-Point Analyse dient dazu, Stukturbrüche in zeitlich geordneten Datensätzen zu erkennen. Hierzu gibt es die folgenden zwei Ansätze: Einerseits verwendet das a-posteriori (offline) Verfahren den vollständig beobachteten Datensatz zum Testen auf einen Change-Point. Andererseits gibt es das sequentielle (online) Verfahren, bei dem eine sogenannte Testperiode bekannt ist und darauf aufbauend neue Daten gesammelt werden. Nach jeder neuen Beobachtung wird erneut ein Test auf eine Strukturveränderung vorgenommen.

Die Entscheidung, ob eine Veränderung eingetreten ist oder nicht, wird mittels einer Teststatistik gefällt. Ist diese größer als ein kritischer Wert, entdeckt der a-posteriori Test eine Veränderung. Im Falle des sequentiellen Verfahrens wird statt eines kritischen Wertes eine kritische Kurve verwendet. Sobald die Teststatistik über der kritischen Kurve liegt, stoppt das Verfahren und entdeckt eine Veränderung.
Robuste Verfahren in der Change-Point Analyse sind von großer Bedeutung, um auch beim Auftreten stark abweichender Beobachtungen. Solche Beobachtungen können beispielsweise durch schiefe Verteilungen, dicke Flanken oder Ausreißer verursacht werden. Insbesondere in der online Change-Point Analyse sind robuste Verfahren bedeutsam, da beispielsweise bei der Überwachung von Patienten- oder Maschinendaten bei Erkennung eines Strukturbruches schnell eingegriffen werden muss. Ist das verwendete Verfahren nicht robust, können Ausreißer in den Daten leicht einen falschen Alarm auslösen.
In diesem Projekt konstruieren wir robuste sequentielle Verfahren basierend auf U-Statistiken.  Dazu muss zunächst die entsprechende Teststatistik konstruiert werden. Für diese Teststatistik werden dann die asymptotischen Verteilungen unter der Null- und Alternativhypothese hergeleitet. Aus den asymptotischen Verteilungen können schließlich die kritische Kurve sowie die Güte des Tests abgeleitet werden. Das Verhalten des Tests bei endlichen Stichproben wird mittels Simulationen untersucht.

Sequentielle Verfahren weisen grundsätzlich eine gewisse zeitliche Verzögerung in der Erkennung eines Strukturbruches auf, da nach der Änderung zunächst genügend Beobachtungen gesammelt werden müssen, um statistische Signifikanz zu erhalten. Diese zeitliche Verzögerung ist von großer Bedeutung, da insbesondere beim Einsatz sequentieller Verfahren zur Überwachung nach einem Strukturbruch möglichst schnell eingegriffen werden muss. Dazu leiten wir die asymptotische Verteilung der zugehörigen Stoppzeit her.

Robust methods in sequential change-point analysis based on U-statistics

Change point analysis is used to recognize structural breaks in chronologically ordered data sets. There are two approaches to this: On the one hand, the a-posteriori (offline) method uses the fully observed data set to test for a change point. On the other hand, there is the sequential (online) method, in which a so-called test period is known and new data is collected based on this. After each new observation, a test for a structural change is carried out again.

The decision as to whether a change has occurred or not is made by means of a test statistic. If this is greater than a critical value, the a posteriori test detects a change. In the case of the sequential method, a critical curve is used instead of a critical value. As soon as the test statistic is above the critical curve, the procedure stops and detects a change.
Robust procedures in change-point analysis are of great importance, even when strongly deviating observations occur. Such observations can be caused by skewed distributions, thick slopes or outliers, for example. Robust methods are particularly important in online change-point analysis, as it is necessary to intervene quickly if a structural break is detected when monitoring patient or machine data, for example. If the method used is not robust, outliers in the data can easily trigger a false alarm.
In this project we construct robust sequential procedures based on U-statistics. For this purpose, the corresponding test statistic must first be constructed. The asymptotic distributions under the null and alternative hypothesis are then derived for this test statistic. Finally, the critical curve and the quality of the test can be derived from the asymptotic distributions. The behavior of the test with finite samples is examined by means of simulations.

Sequential methods generally have a certain time delay in the detection of a structural break, as sufficient observations must first be collected after the change in order to obtain statistical significance. This time delay is of great importance because, especially when using sequential methods for monitoring after a structural break, it is necessary to intervene as quickly as possible. For this purpose, we derive the asymptotic distribution of the associated stop time.