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Ricci fluss von singulären metrischen Räumen
Projektbearbeiter:
Herrn Dipl. Arthur Schlichting
Finanzierung:
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) ;
Der Ricci-Fluss ist eine parabolische Gleichung 2. Ordnung auf einer Mannigfaltigkeit. In dem Fall, dass die Mannigfaltigkeit einfach zusammenhängend ist und Dimension drei hat, wurde dieser Fluss von R.Hamilton, G.Perelman und anderen dazu benutzt, die Richtigkeit der Poincaré-Vermutung zu beweisen.
Mithilfe des Ricci-Flusses hofft man, noch viele andere offene geometrische Fragen beantworten zu können.
Dieses Projekt hat folgende Ziele:
1. Einen Ricci-Fluss für nicht glatte Anfangsdaten zu definieren.
2. Abschätzungen herzuleiten, die nur von einfachen geometrischen Größen anbhängig sind. Zu diesen geometrischen. Größen gehören: Volumen, Durchmesser, untere Krümmungsschränken, Distanz.
3. Besseres Verständnis für Räume mit unteren Krümmungsschränken zu bekommen
4. Besseres Verständnis für die Singularitäten des Ricci-Flusses zu bekommen
Gegenstand des Teilprojekts von Herrn Arthur Schlichting sind Punkte 1 und 3, wobei die bisherigen Ergebnisse auch neue Informationen zu 2 und 4 liefern.
In Teil I der Arbeit beschäftigt sich Herr Schlichting mit dem Glätten geklebter Mannigfaltigkeiten. Genauer: Wir betrachten zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Rand, wobei
a) die Riemannschen Mannigfaltigkeiten isometrisch am Rand sind,
b) die Summe der zweiten Fundamentalformen am Rand nichtnegativ ist
c) die Eigenwerte des Krümmungsoperators nach unten durch K beschränkt sind.

Durch Identifikation der Ränder ('Kleben') erhält man eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit stetiger Metrik (vgl. A.Petrunin, N.N. Kosovskii). Herr Schlichting hat gezeigt, dass auf der geklebten Mannifaltigkeit glatte Metriken konstruiert werden können, so dass die Eigenwerte des Krümmungsoperators nach unten durch K-s beschränkt sind, wobei s beliebig klein ist. Die geglätteten Mannigfaltigkeiten konvergeiren dann in der C0-Norm gegen die ursprungliche geklebete Mannigfaltigkeit.
In Teil II der Arbeit geht es speziell um den Fall K=0. In diesem Fall hat er gezeigt, dass ein Riccifluss der geklebten Mannigfaltigkeit existsiert, der die Mannigfaltigkeit glättet, so dass die Krümmungsschranke K= 0 erhalten wird.

Schlagworte

Ricci-Fluss, geometrische Analysis
Kontakt
Prof. Dr. Miles Simon

Prof. Dr. Miles Simon

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Fakultät für Mathematik

Institut für Analysis und Numerik

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39106

Magdeburg

Tel.+49 391 6711061

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